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 Les systèmes hamiltoniens et leur intégrabilité

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MessageSujet: Les systèmes hamiltoniens et leur intégrabilité   Mer 01 Déc 2010, 02:17



Michèle Audin, "Les systèmes hamiltoniens et leur intégrabilité"
Socéeté Mathématique de France | 2001 | ISBN: 2868835228 | 170 pages | Djvu | 2,2 mb
TABLE DES MATIÈRES

Introduction ..1
I. Introduction aux systèmes intégrables .7
1.1. Variétés symplectiques .7
1.2. Systèmes hamiltoniens, exemples .. 13
1.3. Systèmes complètement intégrables 17
I. 4. les flots géodésiques 21
1.5. Appendice: le théorème de Darboux 26
Exercices 27
II. Variables action-angles .35
11.1. Opérations hamiltoniennes de tores . 35
II. 2. Théorème d'Arnold-Liouville ..40
11.3. Exemples .48
Exercices 52
III. Intégrabilité et groupes de Galois .57
Le théorème d'Arnold-Liouville,
revu par la théorie de Galois différentielle 57
IIL1. Équation aux variations, groupes de Galois et intégrales premières .. 58
111.2. Le cas d'un système hamiltonien 65
IIL3. Le cas d'un système intégrable 67
111.4. Vers les applications: la réduction 77
111.5. L'exemple de Hénon-Heiles 83
111.6. Appendice: démonstration du lemme de Ziglin 86
Exercices 90
IV. Une introduction aux équations de Lax .95
Le théorème d'Arnold-Liouville, fevu à travers les équations de I..ax . .. 95
IV. 1. Pourquoi des courbes algébriques? 96
IV. 2. Un théorème de linéarisation . 100
IV. 3. Le cas des géodésiques des quadriques . 106
IV. 4. Appendice: comment on construit des équations de Lax (un aperçu) ..119
Exercices .126
Appendices
A. Ce qu'il faut savoir en théorie de Galois différentielle ..135
A.l. Corps différentiels .135
A.2. Extension de Picard-Vessiot ..136
A.3. Le groupe de Galois 138
A.4. Le groupe de Galois d'un système hamiltonien est symplectique .141
A.5. Un exemple: l' équation d Airy . 142
Exercices faciles sur la théorie de Galois différentielle 147
B. Ce qu'il faut savoir sur les courbes algébriques ..149
B.1. Courbes complexes et surfaces de Riemann 149
B. 2. Fibrés en droites sur les courbes 151
B.3. Faisceaux et cocycles . 153
B.4. Groupe de Picard, Riemann-Roch, jacobienne . 154
Exercices de compréhension des définitions 158
Bibliographie 161
Index . 167


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